Für das Pricing von Derivaten ist entscheidend, wie stark die erwarteten Preisschwankungen sind, denen der/die Basiswert/e während der Laufzeit unterliegen. Optionen auf stark schwankende Wertpapiere sind vergleichsweise teuer. So ist beispielsweise bei einem Call mit Strike 100 CHF und aktuellem Basiswertpreis von 50 CHF die Wahrscheinlichkeit, dass die Option ins Geld kommt, grösser, wenn die zugrunde liegende Aktie stark schwankt. Die Schwankungsbreite von Wertpapieren wird normalerweise technisch als Standardabweichung deren Renditen definiert und Volatilität genannt.

Bei gegebener erwarteter Volatilität können theoretische Preise von Standardoptionen mithilfe der bekannten Formel von Fischer Black und Myron Scholes berechnet werden. Das entscheidende Problem ist hierbei die Festlegung der erwarteten Volatilität, welche als einziger Inputparameter im B&S-Modell unbekannt ist. Als Orientierungshilfe dient oft die historische Volatilität, also die Standardabweichung von Renditen in einem vergangenen Zeitraum. Je nach Wahl dieses Zeitraumes können die berechneten Volatilitäten allerdings stark divergieren.

Implizite Volatilität

Wenn man davon ausgeht, dass börsengehandelte Optionen fair bewertet sind, ist es naheliegend, den umgekehrten Weg zu gehen, nämlich das Modell von Black und Scholes zu benutzen, um aus den Optionspreisen die entsprechende Volatilität zu bestimmen: Der theoretische Optionspreis wird mit der B&S-Formel mit verschiedenen Volatilitäten berechnet, bis die sogenannte implizite Volatilität gefunden wird, mit welcher der theoretische Preis dem aktuellen Handelspreis der Option entspricht. Die implizite Volatilität wird somit vom Markt bestimmt und bildet die Meinung der Börsenteilnehmer über die zukünftige Volatilität ab. Im Gegensatz zur historischen Volatilität kann sich die implizite Volatilität sprunghaft ändern, wenn marktrelevante Informationen eintreffen, wie z.B. die Nachricht über den Tsunami in Japan.

Volatility Skew / Smile

Implizite Volatilitäten verschiedener Optionen auf denselben Basiswert sind nicht zwingend gleich hoch. Normalerweise weisen Optionen, deren Basiswert über dem Strike notiert, vergleichsweise hohe implizite Volatilitäten auf. In der nebenstehenden Abbildung sind implizite Volatilitäten der UBS in Abhängigkeit von Strikes der Optionen abgetragen. Die sich ergebende Kurve wird Volatility Skew genannt oder Volatility Smile, wenn sie sich am rechten Ende wieder nach oben bewegt, was insbesondere bei Einzelaktien und Commodities öfter vorkommt als bei Indizes.

Volatility Surface

Nebst der Moneyness (Verhältnis von Strike und Preis des Basiswertes) hängt die implizite Volatilität auch von der Laufzeit der Option ab. Normalerweise haben Optionen mit kürzerer Laufzeit eine höhere implizite Volatilität. Dies ist auch beim entsprechenden Silber-Chart ersichtlich. Insbesondere bei kurzen Laufzeiten ist die Smile ausgeprägt. Mit längeren Laufzeiten sinkt die implizite Volatilität für alle Strikes. 

Gründe für die Skew

In einer perfekten Welt dürfte die Skew nicht existieren, weil die Volatilität eines Basiswertes nicht von dessen Optionen abhängen darf. Im Gegenteil: Die implizite Volatilität einer Option muss der erwarteten Volatilität der Basiswertrenditen entsprechen. Deshalb müsste für jede Option auf einen Basiswert die gleiche implizite Volatilität berechnet werden.

Vor allem out-of-the-money (OTM) Puts sind als Absicherungsinstrument bei Investoren beliebt. Diese Optionen weisen meist vergleichsweise hohe implizite Volatilitäten auf. Da höhere implizite Volatilitäten bei Optionen immer auch höhere Preise bedeuten, mag der Eindruck aufkommen, dass Banken, welche die Derivate verkaufen, aus Gewinnstreben bewusst bei den beliebtesten Optionen (zu) hohe implizite Volatilitäten ansetzen. Der Hauptgrund für die Smile ist jedoch ein anderer: Das B&S-Modell basiert auf Annahmen über Kursverläufe der Underlyings, welche nicht der Realität entsprechen. Insbesondere wird im Modell davon ausgegangen, dass Renditen von Wertpapieren sogenannt normalverteilt sind. Die Normalverteilung ist (nicht nur in der Finanzbranche) beliebt, weil sie nur zwei Inputparameter (erwartete Rendite und Volatilität) benötigt, um jeder möglichen zukünftigen Rendite eine Eintreffenswahrscheinlichkeit zuzuordnen. Allerdings unterschätzt die Normalverteilung u.a. die Wahrscheinlichkeit, dass extreme Renditen vorkommen. Werden durch das Modell Wahrscheinlichkeiten von extrem negativen Renditen unterschätzt, werden zu tiefe theoretische Preise für OTM Puts berechnet. Um diesem Umstand Rechnung zu tragen, werden implizite Volatilitäten manuell erhöht, was in höheren Marktpreisen resultiert.

Weshalb denn B&S?

Ein perfektes theoretisches Modell für das Verhalten von Wertpapierrenditen existiert nicht. Im Financial Engineering werden z.B. Preisprozesse mit stochastischer Volatilität und/oder Sprüngen verwendet, die aber sehr kompliziert in der Handhabung sind. Die Berechnung von Optionspreisen mit einer einfachen Formel ist nicht mehr möglich. In der Praxis wird deshalb der Einfachheit (und Geschwindigkeit) halber meistens mit B&S und angepassten impliziten Volatilitäten operiert. Ist die manuelle Anpassung von impliziten Volatilitäten ein Freipass für überteuerte Preise? Dafür spricht die Tatsache, dass bei OTM-Optionen normalerweise Finanzinstitute Verkäufer sind und so eine Marktmacht ausüben können, während individuelle Investoren die Produkte eher nachfragen und den Preisen der Banken ausgeliefert sind. Dagegen spricht die Konkurrenz unter den einzelnen Optionsverkäufern sowie Arbitrageargumente. Aktuelle wissenschaftliche Untersuchungen liefern keine eindeutige Antwort auf die Frage, ob OTM-Optionen fair bepreist sind.

Ein Lächeln in der sonst ernsten Finanzwelt: Solange B&S als Referenzmodell verwendet wird, bleibt die Smile den Investoren erhalten.